Question

已知f（x）=2007sinx+2008x³且x∈（-1，1）．若f（1-α）+f（1-α²）＜0，则α的取值范围是

1＜α＜

2

．

Answer 1

分析：根据题意，由奇偶性的定义分析可得f（x）的奇函数，再对f（x）求导，分析其导函数的符号，即可得f（x）在（-1，1）上为增函数；结合得到的f（x）的奇偶性与单调性，对f（1-α）+f（1-α²）＜0变形可得不等式组

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＜a2-1

，解可得答案．

解答：解：对于f（x）=2007sinx+2008x³，
f（-x）=2007sin（-x）+2008（-x）³=-2007sinx-2008x³=-f（x），
则f（x）为奇函数，
f′（x）=2007cosx+6024x²，
当x∈（-1，1），易得f′（x）＞0，
则f（x）在（-1，1）上为增函数；
f（1-α）+f（1-α²）＜0⇒f（1-a）＜-f（1-α²），
又由f（x）为奇函数，可得-f（1-α²）=f（α²-1），
则f（1-α）+f（1-α²）＜0⇒f（1-a）＜f（α²-1），
又由f（x）在（-1，1）上为增函数，
则有

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＜a2-1

，
解可得1＜α＜

2

，
故答案为1＜α＜

2

．

点评：本题综合考查函数的奇偶性与单调性的运用，注意不要忽略x∈（-1，1）这一条件，解题的关键是分析出函数f（x）的奇偶性与单调性．