Question

某公司生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台仪器需增加投入200元，已知总收益满足函数g(x)=

400x- 1 2 x2， 0≤x≤400 100000，x＞400

．其中x是仪器的月产量（单位：台）．
（1）将利润表示为月产量x的函数f（x）；  
（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益总-成本）

Answer 1

分析：（1）分类讨论利用：利润=总收益-总成本，总成本=固定成本+每生产一台仪器需增加投入200元×生产仪器的件数．可得：当0≤x≤400时，f（x）=g（x）-10000-200x=400x-

1

2

x2-10000-200x=200x-

1

2

x2-10000；当x＞400时，f（x）=100000-10000-200x=90000-200x．
（2）利用（1）的结论，分类讨论，分别利用二次函数和一次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）当0≤x≤400时，f（x）=400x-

1

2

x2-10000-200x=200x-

1

2

x2-10000；
当x＞400时，f（x）=100000-10000-200x=90000-200x．
∴f（x）=

200x- 1 2 x2-10000，0≤x≤400 90000-200x，x＞400

，
（2）当0≤x≤400时，f（x）=400x-

1

2

x2-10000-200x=200x-

1

2

x2-10000=-

1

2

(x-200)2+10000；
∴当x=200时，此时f（x）获得最大利润，最大利润为f（200）=10000．
当x＞400时，f（x）=100000-10000-200x=90000-200x＜90000-200×400=10000．
综上可知：当且仅当x=200时，公司所获利润最大，最大利润为10000元．

点评：正确理解利润=总收益-总成本和熟练掌握二次函数和一次函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．