Question

若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
（1）已知是上的正函数，求的等域区间；
（2）试探求是否存在，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，

试题分析：（1）因为是上的正函数，根据正函数的定义建立方程组，解之可求出的等域区间；
（2）根据函数函数是上的正函数建立方程组，消去，求出的取值范围，转化成关于的方程在上有实数解进行求解．
试题解析：(1)
(2)假设存在，使得函数是上的正函数，且此时函数在上单调递减
存在使得： （*）
两式相减得，代入上式：
即关于的方程在上有解
方法①参变分离：即
令，所以
实数的取值范围为
方法②实根分布：令，即函数的图像在内与轴有交点，，解得
方法③ ：（*）式等价于方程在上有两个不相等的实根