Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，BC=2．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明AB⊥平面ACC₁A₁，即可证明AB⊥A₁C；
（2）连接A₁C，A₁B，取A₁C的中点D，连接AD，BD可得∠ADB是二面角A-A₁C-B的平面角，从而可求二面角A-A₁C-B的余弦值．

解答：（1）证明：由直棱柱的性质可得，AA₁⊥平面ABC
∴AA₁⊥AB
∵在△ABC中AB=1，AC=

3

，BC=2，AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC又AC∩AA₁=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
（2）解：连接A₁C，A₁B
由已知可得A1B=BC=2 ， A1A=AC=

3

 ， A1C=

6

取A₁C的中点D，连接AD，BD可得AD⊥A₁C，BD⊥A₁C
∴∠ADB是二面角A-A₁C-B的平面角，
由（1）AB⊥平面ACC₁A₁可得AB⊥AD
在等腰△A1BC可得BD=

10

2

，在等腰Rt△A1AC中可得AD=

6

2

，
又在Rt△BAD中cos∠ADB=

AD

BD

=

15

5

为所求二面角的余弦值

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．