Question

【题目】设函数.

（1）若，证明： 在上存在唯一零点；

（2）设函数，（ 表示中的较小值），若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）证明在上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值.

试题解析：

解：(1)函数的定义域为，因为，当时， ，而，所以在存在零点.因为，当时， ，所以，则在上单调递减，所以在上存在唯一零点.

（2）由（1）得， 在上存在唯一零点， 时， 时，

.当时，由于； 时， ，于是在单调递增，则，所以当时， .当时，因为， 时， ，则在单调递增； 时， ，则在单调递减，于是当时， ，所以函数的最大值为，所以的取值范围为.