Question

14．已知直线l：mx-y+1-m=0和圆C：x²+（y-1）²=5
（1）求证：不论m为何值，直线l与圆C总相交；
（2）设直线l与圆C的交点为A，B，若|AB|=$\sqrt{17}$，求直线的倾斜角．
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程
（4）若定点p（1，1）分弦AB为$\frac{|AP|}{|PB|}$=$\frac{1}{2}$．求此时直线1的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线l：mx-y+1-m=0恒过过定点P（1，1），可判明在圆内，即可证明直线l和圆C总相交．
（2）直线l与圆C的交点为A，B，若|AB|=$\sqrt{17}$，则圆心到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出m，即可求直线的倾斜角；
（3）由已知得到直线过定点P（1，1），设出AB中点M的坐标，分M与P重合和不重合结合直角三角形中的勾股定理得弦AB的中点M的轨迹方程；
（4）把线段的长度比转化为两个想两件的关系，由向量的坐标运算得到A，B两点横坐标间的关系，联立直线与圆的方程化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，求出其中一点的横坐标，最后再代入关于x的方程得到关于m的方程，求解得到m的值，则直线方程可求．

解答 （1）证明：直线l：mx-y+1-m=0恒过过定点P（1，1），
∵点P（1，1）在圆内，∴直线l和圆C总相交；
（2）解：直线l与圆C的交点为A，B，若|AB|=$\sqrt{17}$，则圆心到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{|-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴m=$±\sqrt{3}$，
∴直线的倾斜角为60°或120°．
（3）解：∵CM⊥MP，
∴弦AB的中点M的轨迹是以CP为直径的圆，方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$；
（4）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{|AP|}{|PB|}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$，
∴1-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-1），化简的x₂=3-2x₁…①
又由直线代入圆的方程，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$…②
由①②解得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，代入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0

点评 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆的关系，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的灵活处理问题的能力和计算能力，是中高档题．