Question

【题目】已知向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），函数f（x）= ．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]的最值及所对应的x值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），

函数f（x）=

=﹣2sin2x+2 sinxcosx

=﹣2× + sin2x

= sin2x+cos2x﹣1

=2sin（2x+ ）﹣1；

根据正弦函数的图象与性质，

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：当x∈[0， ]时，2x+ ∈[ ， ]，

所以sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

所以sin（2x+ ）﹣1∈[﹣ ，0]，

所以当x= 时，函数f（x）在区间[0， ]上取得最小值﹣ ，

x= 时，函数f（x）取得最大值0

【解析】根据平面向量的数量积求出f（x）的解析式，（1）根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的单调递增区间；（2）求出x∈[0， ]时sin（2x+ ）的取值，从而求出函数f（x）在区间[0， ]上的最值以及对应x的值．
【考点精析】关于本题考查的正弦函数的单调性，需要了解正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数才能得出正确答案．