Question

（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知离心率和直线AB斜率为0时，，可求得a，b，c的值，从而得到椭圆标准方程；（2）因为AB⊥CD，故，将AB和CD所在直线方程分别与椭圆方程联立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函数思想，结合均值不等式可求得S的范围.

试题解析：（1）由题意知，，则，

且AB斜率为0时，，

所以．所以椭圆的方程为． 4分

（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知； 5分

②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，

且设直线的方程为，

则直线的方程为．

将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，

所以． 8分

同理，． 9分

所以

，

当且仅当时取等号 11分

∴

综合①与②可知， 13分

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，弦长公式，基本不等式.