Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=

3

2

，a_n+2=

3

2

a_n+1-

1

2

a_n（n∈N^*）
（1）记d_n=a_n+1-a_n，求证：{d_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）b_n=3n-2，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）将递推式化简为a _n+2-a _n+1=

1

2

a _n+1-

1

2

a _n，得到

an+2-an+1

an+1-an

=

1

2

即可证明{d_n}是等比数列；
（2）由①得a _n+1-a _n=(

1

2

)n，利用叠加法可以解决问题
（3）利用错位相减法可以求和

解答：解：（1）∵a₁=1，a2=

3

2

，
∴a2-a1=

1

2

又∴an+2-an+1=

1

2

an+1-

1

2

an
∴

an+2-an+1

an+1-an

=

1

2

即dn+1= 

1

2

dn
∴{a_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列
（2）由①得an+1-an=(

1

2

)n
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1
（3）an-bn=(6n-4)-(3n-2) (

1

2

)n-1
Sn=2[1+4+…3n-2]-[1×

1

20

+4×

1

2

+…+(3n-2)

1

2n-1

]
记Tn=1+4×

1

2

+7×

1

22

+…+(3n-2)×

1

2n-1

①

1

2

Tn=1×

1

2

+4×

1

22

+…+(3n-2)×

1

2n

②
①-②得

1

2

Tn=1+3×(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-(3n-2)×

1

2n

∴Tn=8-

3n+4

2n-1

∴Sn=3n2-n-8+

3n+4

2n-1

点评：此题是考查学生对递推式的理解和应用，考查的知识点都是常见的解题方法，难度不大．