题目内容

设函数f（x）=x²+1，若关于x的不等式f（ $数学公式$ ）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）对任意x∈[ $数学公式$ ，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是________．

（-∞，- $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）
分析：先把原不等式整理后转化为g（x）=（- $\text{[math]}$ +4m²+1）x²-2x-3≥0对任意x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围．
解答：原不等式不等式f（ $\text{[math]}$ ）+4f（m）≤4m²f（x）+f（x-1）整理得g（x）=（- $\text{[math]}$ +4m²+1）x²-2x-3≥0，
即可以转化为g（x）=g（x）=（- $\text{[math]}$ +4m²+1）x²-2x-3≥0对任意x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）恒成立．
由于函数g（x）开口向上，对称轴小于等于 $\text{[math]}$ ，所以在x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）上递增．
故只须g（ $\text{[math]}$ ）≥0? $\text{[math]}$ +4m²- $\text{[math]}$ ≥0?12（m²）²-5m²-3≥0?m²≥ $\text{[math]}$ 或m²≤- $\text{[math]}$ ?m≥ $\text{[math]}$ 或m≤- $\text{[math]}$ ．
故答案为：（-∞，- $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
点评：本题主要考查二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．