Question

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB,点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁、B、M三点的平面A₁BM交C₁D₁于点N.

(1)求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（2）求二面角B-A₁N-B₁的正切值.

Answer 1

解法一：（1）证明：取A₁B₁的中点F，连EF、C₁F.

∵E为A₁B中点，∴EFBB₁.

又∵M为CC₁中点，∴EFC₁M.∴四边形EFC₁M为平行四边形.∴EM∥FC₁.

而EM平面A₁B₁C₁D₁，FC₁平面A₁B₁C₁D₁,∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁.

(2)由（1）EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N,

∴A₁N∥EM∥FC₁.∴N为C₁D₁中点.

过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A₁N,

∠BHB₁即为二面角B-A₁N-B₁的平面角.

设AA₁=a,则AB=2a.∵A₁B₁C₁D₁为正方形，∴A₁N=a.又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁,

∴B₁H=.10分在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=,

即二面角BA₁NB₁的正切值为.

解法二:（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2a,AA₁=a(a＞0),则A₁(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C₁(0,2a,a).

∵E为A₁B的中点，M为CC₁的中点，∴E(2a,a,),M(0,2a,).

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁.

（2）设平面A₁BM的法向量为n=(x,y,z),

又=(0,2a,-a),=(-2a,0,),由n⊥,n⊥，得

∴不妨设z=a,则n=(,,a).

而平面A₁B₁C₁D₁的法向量为n₁=(0,0,1).设二面角的平面角为θ，则|cosθ|=.

又二面角为锐二面角，∴cosθ=.从而tanθ=.