Question

已知矩形ABCD，AB=2BC=2a，AB、CD的中点M、N，以MN为折线翻折平面AMND，使平面AMND⊥平面MBCN，P为MD上一点，Q为BN上一点，且有MP=BQ．
（1）求证PQ∥平面DNC；
（2）求证PQ⊥MN．

Answer 1

证明：（1）作PR∥MN交DN于R，作QT∥MN交于T，连接RT．
∵∠MDN=∠BNC=45°，DM=NB，PM=QB，PR∥MN，QT∥MN，
∴PR∥QT，且Rt△DRP≌Rt△NTQ，得PR=QT．
∴四边形PQTR为平行四边形，
∴PQ∥RT，
∴PQ∥平面DNC．

（2）证明：如图，
∵RN⊥平面MBCN，NT⊥MN，
∴RT⊥MN，
又∵PQ∥RT，
∴PQ⊥MN．