Question

已知圆C₁：x²+y²=1，圆C₂：x²+y²-2x+4y+1=0；
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交；    
（Ⅱ）求圆C₁、圆C₂相交弦的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把两个圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，求得两圆的圆心距大于两圆的半径只差而小于
两圆的半径之和，可得这两个圆相交．
（Ⅱ）把这两个圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程．求出圆心C₁到直线方程x-2y+1=0的距离，
再由弦长公式求得弦长．
解答：解：（Ⅰ）圆C₁：x²+y²=1的圆心为（0，0），半径为1．
圆C₂：x²+y²-2x+4y+1=0即 （x-1）²+（y+2）²=4，表示圆心为（1，-2）、半径等于2的圆．
两圆的圆心距=，大于两圆的半径只差而小于两圆的半径之和，
故这两个圆相交．
（Ⅱ）把这两个圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为x-2y+1=0．
圆心C₁到直线方程x-2y+1=0的距离为d==，
由弦长公式可得 弦长为 2=．
点评：本题主要考查圆的标准方程、点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．