Question

试求三直线ax+y+1=0,x+ay+1=0,x+y+a=0构成三角形的条件.

Answer 1

【探究】  三直线构成三角形，则任二直线都相交，且不能相交于一点.

解法一任二直线都相交，则

,,故a≠±1.

且三直线不共点，故的交点(-1-a,1)不在ax+y+1=0上，

即a(-1-a)+1+1≠0,a²+a-2≠0.

(a+2)(a-1)≠0.  ∴a≠-a,a≠1

综合上述结果，此直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.

解法二∵三条直线能构成三角形,

∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.若l₁,l₂,l₃交于一点，则

l₁:x+y+a=0与l₂:x+ay+1=0的交点P(-a-1,1)在l₃:ax+y+1=0上，

∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1,或a=-2.

若l₁∥l₂,则有=-1,a-1;若l₁∥l₃，则有=-1,a=1;

若l₂∥l₃，则有=-a,a=±1.

∴l₁,l₂,l₃构成三角形时a≠±1,a≠-2.

【规律总结】 (1)这是一道研究三直线位置关系的问题.一般容易只考虑三直线不共点，而忽视三直线互不平行这一条件，因而漏去a≠-1这一条件.

(2)解法一是直接法，解法二是间接法.当有时问题直接求解较困难时，可用间接法.