Question

如图，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴
长的2倍，且经过点M. 平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭
圆C于A、B两个不同点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求m的取值范围； 
（3）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）见解析

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的总额和运用。
（1）设椭圆C的标准方程为
（＞＞0）
由题意，结合性质得到参数a,b的值
（2）
设：由
联立方程组，然后根据判别式大于零得到m的范围。
（3）设，则、为（）式的两根，
设MA交轴于点P，MB交轴于点Q
      MA的方程为：
令，可得P（）=
同理得到点Q的坐标，然后结合中点公式，得到并证明。
解：（1）设椭圆C的标准方程为
（＞＞0）
由题意
解得
C的方程为             ………………4分
（2）
设：由
消去得 
直线与椭圆有两个不同的交点
式有两个不等实根
则＞0
解得＜＜2    又
的取值范围为         ………………8分
（3）设，则、为（）式的两根，
设MA交轴于点P，MB交轴于点Q
      MA的方程为：
令，可得P（）=
同理可得Q
设PQ的中点为N，则
由②知
又

MPQ的中线MNPQ
MPQ为等腰三角形                    ………………12分
注：其他正确解法请按步骤酌情给分。