Question

．已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁M的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；  （Ⅱ） （Ⅲ）

(I)设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，
得
然后再根据知,因而
（II）本小题应先讨论时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．
然后再根据当且时，由，得．
又，所以T为线段F₂Q的中点．所以可得,从而说明点T的轨迹方程为以O为圆心半径为a的圆.
(III)先假设在C上存在点M（）使S=的充要条件是
然后可得，由④得所以可得当时，存在点M，使S=.然后再对坐标化进一步推导即可.
（Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得

又由知，
所以
（Ⅱ） 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．
当且时，由，得．
又，所以T为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是 
（Ⅲ） C上存在点M（）使S=的充要条件是
由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M．
当时，，
由，
，
，得