Question

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）。
（1）证明对任意n≥1，有a_n=[3ⁿ+（-1）^n-12ⁿ]+（-1）ⁿ2ⁿa₀；
（2）假设对任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范围。

Answer 1

解：（1）当n=1时，由已知a₁=1-2a₀，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
 
也就是说，当n=k+1时，等式也成立
根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N₊，成立。
（2）由通项公式
 
∴
等价于 ①
（i）当n=2k-1，k=1，2，…时，①式即为
即为②
②式对k=1，2，…都成立，有
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
即为③
③式对k=1，2，…都成立，有

综上，①式对任意n∈N*，成立，有
故a₀的取值范围为。