Question

9．宏利重工有限公司从2012年起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月递增2万元的处罚．如果从2012年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境（改造设备时间不计）．按测算，新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示．
（1）设f（n）表示投资改造后的前n个月的总收入，请写出f（n）的函数关系式；
（2）试问：经过多少个月，投资开始见效，也就是说，投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入？

Answer 1

分析 （1）a_i表示第i个月的收入，则由图可得数列的前5项是公差为2的等差数列，第6项开始是常数列，从而求出投资改造设备后，累计收入f（n）与生产时间n的函数表达式；
（2）先比较改造设备后前5个月的纯收入与不改造设备前5个月的纯收入可知5个月内投资不能见成效，然后根据投资改造设备后的纯收入多于不改造设备时的纯收入建立关系式，解之即可．

解答 解：（1）a_i表示第i个月的收入，则由图可得数列的前5项是公差为2的等差数列，第6项开始是常数列．
∴f（x）=n²+100n（n≤5，n∈N）．…（4分）
当n＞5，n∈N时，
f（n）=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…（7分）
∴f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+100n，1≤n≤5，n∈N}\\{109n-20，n＞5，n∈N}\end{array}\right.$…（8分）
（2）改造设备后前5个月的纯收入：5²+100×5-400=125，
不改造设备前5个月的纯收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5个月内投资不能见成效，…（10分）
当n＞5，n∈N时，109n-20-400＞$70n-[n+\frac{n（n-1）}{2}×2]$，
化简，得n²+39n-420＞0，…（13分）
当5＜n≤8时，n²+39n-420＜0，
当n≥9时，n²+39n-420＞0．
即至少经过9个月，投资改造设备后的纯收入才能多于不改造设备时的纯收入．

点评 本题主要考查的知识点是函数解析式的求法，以及函数模型的选择与应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．