Question

．(本小题满分12分）
已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点．
(1)求常数a,b,c的值；
(2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)求函数的单调递减区间，并证明：

Answer 1

(1) ，， (2) (3) , 证明：当时, 即对一切都成立，亦即对一切都成立， 所以，，，…， 所以有，
所以. 

试题分析：（1）由知，的定义域为,,
又在处的切线方程为，所以有
,①
由是函数的零点，得,②
由是函数的极值点，得，③
由①②③，得，，.  
（2）由(1)知，
因此，，所以
.
要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而
，所以函数最多有两个极值.
令. 
（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即
在内有且仅有一个根，又因为，当          ，即时，在内有且仅有一个根
，当时，应有，即，解得，所 以有.  
（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函
数在内有两个不等根，所以

解得.
综上，实数的取值范围是.
（3）由，得，
令，得，即的单调递减区间为.
由函数在上单调递减可知，
当时, ，即，
亦即对一切都成立，
亦即对一切都成立，
所以，
，
，
…
，
所以有，
所以. 
点评：本题第一问题型基础简单，第二问需要分情况讨论，对学生有一定的难度，第三问需要借助于单调性求出最值进而转化为恒成立的不等式，难度大