Question

【题目】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设，根据该函数为偶函数可得，根据导函数的图象过点，可得；（2）由（1）可得： 根据二次函数的性质分为， 和三种情形判断其单调性得其最值.

试题解析：（1）因为二次函数经过原点，可设，又因为为偶函数，所以对任意实数，都有，即，所以对任意实数都成立，故．所以， ，又因为导函数的图象过点，所以，解得．所以．

（2）据题意， ，即

① 若，即，当时， ，故在上单调递减；当时， ，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．

② 若，即，当时， ，故在上单调递减；当时， ，故在上单调递增，故的最小值为．

③ 若，即，当时， ，故在上单调递减，在上单调递增；当时， ，故在上单调递增，故的最小值为．

综上所述，当时， 的最小值为；当时， 的最小值为；当时， 的最小值为．