Question

已知f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x，
（1）写出该函数在[0，π]上单调递减区间，
（2）求函数f（x）的最小正周期，并求其最值及取最值时x的取值；
（3）怎样由y=sinx的图象通过函数图象的变换得到f（x）的图象？请写出变换过程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的平方关系及二倍角公式化简三角函数；令整体角在正弦的递减区间内，求出x的范围与[0，π]的公共部分
（2）利用三角函数的周期公式求出周期；利用（1）中的单调性求出三角函数的最值．
（3）利用三角函数的伸缩变换规律及平移变换规律写出变换过程．

解答：解：（1）y=2-sin2x+cos2x=-

2

sin(2x-

π

4

)+2，
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，
∴该函数在[0，π]上的单调递减区间为[0，

3

8

π]，[

7π

8

，π]．（4分）
（2）T=π，由（1）问知：当x=

7

8

π+kπ，(k∈Z)，
倍f（x）最大值为2+

2

，当x=

3

8

π+kπ，(k∈Z)，f（x）最小值为2-

2

；（8分）
（3）y=sinx

纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2

y=sin2x

图象向右平移 π 8 个单位

y=sin（2x-

π

4

）

横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍

y=

2

sin(2x-

π

4

)

作图象关于x轴对称

y=-

2

sin(2x-

π

4

)

图象向上平移2个单位

y=-

2

sin(2x-

π

4

)+2（12分）

点评：本题考查三角函数的同角三角函数的平方关系、二倍角的正弦公式、余弦公式、整体处理的数学思想方法求单调区间、
三角函数的周期公式、三角函数的图象变换规律．