Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²+2x，
（1）求出f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f[x（2x-1）]＞3．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，利用条件求出f（-x）的表达式，利用函数是奇函数，即可求f（x）的解析式．
（2）利用函数的解析式确定函数的单调性，利用单调性解不等式．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x²+2x，
∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x=-f（x），
∴f（x）=-x²+2x，x＜0．
∴f（x）=

x2+2x，x≥0 -x2+2x，x＜0

．
（2）由图象可知函数f（x）在定义域上单调递增，且f（1）=3，
∴不等式f[x（2x-1）]＞3等价为f[x（2x-1）]＞f（1），
即x（2x-1）＞1，
∴2x²-x-1＞0，解得x＞1或x＜-

1

2

．
即不等式f[x（2x-1）]＞3的解集为{x|x＞1或x＜-

1

2

}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用，利用数形结合是解决本题的关键．