Question

已知A，B是双曲线的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且，假设k₃＞0，则k₃的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

Answer 1

【答案】分析：由双曲线可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x，y），则，可得．于是k_PA+k_PB===．同理设Q（x₁，y₁），由k_OP=k_OQ得．得到k_QA+k_QB=．可得k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，由，可得k_QA+k_QB=．又k_QA•k_QB=-，联立解得k_QA．
解答：解：由双曲线可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x，y），则，可得．
∴k_PA+k_PB===．
设Q（x₁，y₁），则，得到．
由k_OP=k_OQ得．
∴k_QA+k_QB===，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵，∴k_QA+k_QB=…①
又k_QA•k_QB=-=-…②
联立①②解得k_QA=2＞0．
故选C．
点评：熟练掌握双曲线、椭圆的标准方程、斜率的计算公式及其有关结论是解题的关键．