Question

已知A，B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个顶点，P为双曲线上（除顶点外）的一点，若直线PA，PB的斜率乘积为

1

2

，则双曲线的离心率e=（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  6

  2

• C．

  2

• D．

  15

  3

Answer 1

分析：根据题意得A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），利用直线的斜率公式算出k_PA•k_PB=

n2

m2-a2

．由点P是双曲线上的点，坐标代入双曲线方程化简整理得n2=

b2(m2-a2)

a2

，从而得出k_PA•k_PB=

b2

a2

=

1

2

，由此得到a、c的关系式，从而解出双曲线的离心率e的值．

解答：解：由题意，可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n）
∴k_PA•k_PB=

n-0

m+a

•

n-0

m-a

=

n2

m2-a2

．
∵点P是双曲线上的点，可得

m2

a2

-

n2

b2

=1，化简整理得n2=

b2(m2-a2)

a2

．
∴k_PA•k_PB=

b2(m2-a2) a2

m2-a2

=

b2

a2

∵直线PA，PB的斜率乘积为

1

2

，即k_PA•k_PB=

1

2

，
∴

b2

a2

=

1

2

，可得

c2-a2

a2

=

1

2

，即

c2

a2

-1=

1

2

∴

c2

a2

=

3

2

，可得e=

c

a

=

3 2

=

6

2

．
故选：B

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的斜率公式、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．