Question

已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当a≤时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程；
（II）当a≤时，分类讨论．利用导数的正负，可讨论f（x）的单调性．
解答：解：（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+-1
∴
∴f′（2）=1
∵f（2）=2+ln2
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-2-ln2=x-2，即y=x+ln2；
（II）=
当0＜a≤时，令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞；令f′（x）＜0，可得1＜x＜；
当a=0时，令f′（x）＞0，可得x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1；
当a＜0时，令f′（x）＞0，可得＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜或x＞1，
综上，当0＜a≤时，函数的单调增区间为（-∞，1），（，+∞）；单调减区间为（1，）；
当a=0时，函数的单调增区间为（-∞，1）；单调减区间为（1，+∞）；
当a＜0时，单调增区间为（，1）；单调减区间为（-∞，），（1，+∞）
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．