Question

证明a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c).?

Answer 1

证明:∵a⁴+b⁴≥2a²b²,b⁴+c⁴≥2b²c²,c⁴+a⁴≥2c²a²,?

∴2(a⁴+b⁴+c⁴)≥2(a²b²+b²c²+c²a²),?

即a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a².?

又a²b²+b²c²≥2ab²c,b²c²+c²a²≥2abc²,?

c²a²+a²b²≥2a²bc,?

∴2(a²b²+b²c²+c²a²)≥2(ab²c+abc²+a²bc),?

即a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+abc²+a²bc?

=abc(a+b+c).?

∴原不等式成立.