Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，点D在B₁C₁上且A₁D⊥B₁C₁．
求证：（1）EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）平面A₁ED⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）在△A₁BC中，利用中位线可得EF∥BC，结合平行线的传递性，得EF∥B₁C₁．最后根据线面平行的判定定理，可得EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）根据AA₁⊥平面ABC，结合线面垂直的性质和面面平行的性质，得到CC₁⊥平面A₁B₁C₁，从而CC₁垂直于平面A₁B₁C₁内的直线A₁D，再结合已知条件A₁D⊥B₁C₁，根据线面垂直的判定定理，得到A₁D⊥平面BB₁C₁C，最后根据面面垂直的判定定理，得到平面A₁ED⊥平面BB₁C₁C．

解答：解：（1）∵△A₁BC中，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，
∴EF∥BC，结合BC∥B₁C₁，
∴EF∥B₁C₁．…（3分）
又∵EF?平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁
∴EF∥平面A₁B₁C₁．…（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥平面ABC．
∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁．
又∵A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁D．…（8分）
又∵A₁D⊥B₁C₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．…（10分）
∵A₁D?平面A₁ED
∴平面A₁ED⊥平面BB₁C₁C．…（12分）

点评：本题借助于棱柱模型，通过证明线面平行与面面垂直，着重考查了空间直线与平面的平行与垂直、平面与平面的平行与垂直等知识点，属于基础题．