Question

【题目】已知函数，其中， 是自然对数的底数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调减区间；

（3）若在恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时， 无单调减区间；当时， 的单调减区间是；当时， 的单调减区间是.（3）

【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

解：(1)因为，所以.

因为，所以.

所以切线方程为.

(2) 因为，

当时， ，所以无单调减区间.

当即时，列表如下：

所以的单调减区间是.

当即时， ，列表如下：

所以的单调减区间是.

综上，当时， 无单调减区间；

当时， 的单调减区间是；

当时， 的单调减区间是.

(3) .

当时，由(2)可得， 为上单调增函数，

所以在区间上的最大值，符合题意.

当时，由(2)可得，要使在区间上恒成立，

只需， ，解得.

当时，可得， .

设，则，列表如下：

所以，可得恒成立，所以.

当时，可得，无解.

综上， 的取值范围是.