Question

【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等边三角形
（3）AB与平面BCD所成的角为60°；
（4）AB与CD所成的角为60°．
则正确结论的序号为 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）（4）
【解析】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故（1）正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE= a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD为等边三角形，故（2）正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故（3）不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A（0，0， a），B（0，﹣ a，0），D（0， a，0），C（ a，0，0）．
=（0，﹣ a，﹣ a）， =（ a，﹣ a，0）．
cos＜ ， ＞= =
∴＜ ， ＞=60°，故（4）正确．
故答案为：（1），（2），（4）

取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断（1）的真假；求出AC长后，可以判断（2）的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断（3）的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断（4）的真假；进而得到答案．