Question

已知函数f（x）=lnx-2kx，（k常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x³+lnx恒成立，求K的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx-2kx，得f′(x)=

1

x

-2k，由k的不同取值进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，得x³+2kx＞0恒成立，由此能求出k的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=lnx-2kx，得f′(x)=

1

x

-2k，
∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当k≤0时，f′(x)=

1

x

-2k＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数，
当k＞0时，由

1

x

-2k＞0，得x＜

1

2k

，
∴f（x）在（0，

1

2k

）上是增函数，在（

1

2k

，+∞）上是减函数，
综上，当k≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当k＞0时，f（x）的单调增区间是（0，

1

2k

），单调减区间是（

1

2k

，+∞）．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，
得x³+2kx＞0恒成立，x∈（0，+∞），
即2kx＞-x³，∴2k＞-x³恒成立，
∵-x²＜0，2k≥0，
∴k的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题考查函数的单调区间的求法和求实数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．