Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点

(Ⅰ)证明：PC⊥平面BEF；

(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形． 　　∴A，B，C，D的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2) 　　又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2，2，－2)＝(－1，，1)＝(1，0，1)，∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0， 　　∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BEF的法向量n1＝＝(2，2，－2)， 　　平面BAP的法向量n2＝＝(0，2，0)， 　　∴n1·n2＝8设平面BEF与平面BAP的夹角为， 　　则cos＝|cos(n1，n2)|＝＝＝， 　　∴＝45℃，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45 　　解法二：(Ⅰ)连接PE，EC在Rt△PAE和Rt△CDE中 　　PA＝AB＝CD，AE＝DE， 　　∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形， 　　又F是PC的中点，∴EF⊥PC， 　　又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点， 　　∴BF⊥PC． 　　又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF 　　(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 　　又ABCD是矩形，∴AB⊥BC， 　　∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB， 　　又由(Ⅰ)知PC⊥平面BEF， 　　∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角．