Question

如图所示：已知椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．
（1）求椭圆离心率；
（2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的弦长为

3

2

2

，试求弦所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据△ABF为直角三角形，可得2|OF|=|AB|，从而可得c=b，即c²=a²-c²，从而可得椭圆的离心率；
（2）求出椭圆方程，设过F的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用韦达定理，计算弦长，即可求得直线的方程．

解答：解：（1）由题意，∵△ABF为直角三角形，∴2|OF|=|AB|，则
∵A，B是椭圆与短轴的两个交点，F是椭圆的焦点，
∴c=b，∴c²=a²-c²，
∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

（2）由题意，F（0，1），b=1，c=1，∴a²=2，
∴椭圆方程为

y2

2

+x2=1
设过F的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消元可得（k²+2）x²+2kx-1=0
设交点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

∴过F的直线与椭圆相交的弦长为

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

×

(- 2k k2+2 )2-4×(- 1 k2+2 )

=

2 2 (k2+1)

k2+2

∵过F的直线与椭圆相交的弦长为

3

2

2

，
∴

2 2 (k2+1)

k2+2

=

3

2

2

∴k=±

2

∴弦所在直线的方程为y=±

2

x+1

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，联立方程，利用韦达定理解题是关键．