Question

设关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β，α＞0}用α、β表示关于x的不等式cx²-bx+a＞0的解集．

Answer 1

分析：由不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β，α＞0}我们易得a＞0，c＞0，我们易给出不等式cx²-bx+a＞0的解集的形式，结合韦达定理，我们求出方程cx²-bx+a=0的两个根，即可得到不等式cx²-bx+a＞0的解集

解答：解：∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β，α＞0}
我们易得α+β=-

b

a

＞0，α•β=

c

a

＞0，
且a，c同号，则a＞0，c＞0
则b=-a（α+β），c=a（α•β），
设m，n为不等式cx²-bx+a＞0的解集．
则m+n=

b

c

=-

α+β

α•β

=（-

1

α

）+（-

1

β

）
m•n=

a

c

=

1

α•β

=（-

1

α

）•（-

1

β

）
即-

1

α

，-

1

β

为方程cx²-bx+a=0的两个根
又由0＜α＜β，
∴-

1

α

＜-

1

β

故不等式cx²-bx+a＞0的解集为（-∞，-

1

α

）∪（-

1

β

，+∞）

点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，三个二次之间的辩证关系，其中根据x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β，α＞0}判断a＞0，c＞0，进而确定不等式cx²-bx+a＞0的解集的形式是解答本题的关键．