Question

设关于x的不等式

ax-1

x2-a

＜0的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值范围为（　　）

• A．(-∞，-

  3

  )∪(

  1

  3

  ，

  3

  )
• B．(-∞，

  1

  4

  )∪(16，+∞)
• C．[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )∪(9，16]
• D．不能确定

Answer 1

分析：由已知中关于x的不等式

ax-1

x2-a

＜0的解集为S，且3∈S，4∉S，将3，4分别代入可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．

解答：解：∵关于x的不等式

ax-1

x2-a

＜0的解集为S，
若3∈S，则

3a-1

9-a

＜0，解得a∈（-∞，

1

3

）∪（9，+∞）
若4∉S，则16-a=0，或

4a-1

16-a

≥0，解得a∈[

1

4

，16]
∵[（-∞，

1

3

）∪（9，+∞）]∪[

1

4

，16]=[

1

4

，

1

3

)∪(9，16]
故实数a的取值范围为[

1

4

，

1

3

)∪(9，16]
故选C

点评：本题考查的知识点是分式不等式的解法，元素与集合关系的判定，其中根据已知条件构造关于a的不等式是解答本题的关键，本题易忽略4∉S时，包括4使分母为0的情况，而错解为[

1

4

，

1

3

)∪(9，16)