Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列b_n满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{}的前n项和，求T_n
（3）（只理科作）接（2）中的T_n，求证：T_n≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n与a_n的关系S_n=2a_n-2n利用仿写的方法消去S_n^得到a_n+2=2（a_n-1+2），再利用等比数列的定义求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）得数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ⁺¹-2所以b_n=n+1∴利用错位相减可得∴．
（3）利用证明T_n是递增数列，求其最小值即可．
解答：解：（1）当n∈N₊时，S_n=2a_n-2n，
则当n≥2，n∈N₊时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
         ①-②，a_n=2a_n-2a_n-1-2，a_n=2a_n-1+2
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴，n=1时   S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴{a_n+2}是a₁+2=4为首项2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）证明b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
∴，
则，
∴④
③-④，=
=
=
∴．
（3）n≥2时，
∴{T_n}为递增数列
∴
∴
点评：本题考查S_n与a_n以及错位相减法的运用，求通项与求和是高考的热点，数列与不等式相结合的综合题也是常考内容，此类问题多与数列的单调性相关．