Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-

1

3

是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f^′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-

1

3

是f（x）的极值点，∴f′(-

1

3

)=0，即3×(-

1

3

)2-2a×(-

1

3

)-3=0，解得a=4．
经验证a=4满足题意．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f^′（x）=3x²-8x-3，
令f^′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=-

1

3

或3．
∴当x＜-

1

3

或x＞3时，f^′（x）＞0，因此函数f（x）在区间(-∞，-

1

3

)或（3，+∞）上单调递增；
当-

1

3

＜x＜3时，f^′（x）＜0，因此函数f（x）在区间(-

1

3

，3)上单调递减．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递减，在区间[3，4]上单调递增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．
（2）∵函数f（x）在区间[1，+∞）是增函数，
∴f^′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
则

a 3 ≤1 f′(1)≥0

或△＜0，解得a≤0．