Question

18．已知$\overrightarrow{m}$=（1，sin（x+$\frac{7π}{6}$）），$\overrightarrow{n}$=（f（x），2cosx），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、和差公式倍角公式可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．再利用三角函数的图象与性质即可得出；
（II）利用三角函数变换及其三角函数的图象与性质即可得出．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=f（x）+2$sin（x+\frac{7π}{6}）$cosx=0，
∴f（x）=-2$sin（x+\frac{7π}{6}）$cosx=2$sin（x+\frac{π}{6}）$cosx=$\sqrt{3}sinxcosx$+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
由$\frac{π}{2}+2kπ$$≤2x+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，≤$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到函数y=g（x）=$sin（2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$的图象，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$-\frac{π}{6}$$≤2x-\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴当x=$\frac{π}{3}$时，函数g（x）取得最大值1+$\frac{1}{2}$即$\frac{3}{2}$；
当x=0时，函数g（x）取得最大值$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$即0．
因此函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为$\frac{3}{2}$，0．

点评 本题考查了数量积运算性质、和差公式倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．