题目内容
某地位于沙漠边缘地区，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30％，从2000年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16％将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4％又被侵蚀，变为沙漠．
(1)设全区总面积为1，1999年年底绿洲面积为
，经过1年(指2000年底)绿洲面积为
，经过n年绿洲面积为
，求证：数列
是等比数列．
(2)至少经过多少年的努力才能使全地区的绿洲面积超过60％(年取整数)？
答案：略
解析：
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解： (1)∵1999年年底绿洲面积为 ，∴1999年年底沙漠面积为 ．经过n－1年后绿洲面积是 ，沙漠面积是 ．再经过1年，原有面积的沙漠有16％栽上了树，改造成了绿洲，同时原有面积的绿洲有4％又被侵蚀，变成了沙漠．因此以过n年后绿洲的面积
∴  ，∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
(2) 由(1)知 是等比数列，且首项为，公比 ，
故  ， ，∴ ，
设经过 n年的努力能使全地区的绿洲面积超过60％．则有 ，∴ ，∴ ，当n=1，2，3，4时， ，而当n=5时， ．答：至少经过5年的努力才能使全地区的绿洲面积超过60％． |
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