Question

已知数列{a_n}中，a₁=，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，
，
又，
∴，
∴{b_n}是以为首项，以为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
∴，，……
∴，
将以上各式相加得：，
∴，
∴。
（Ⅲ）存在λ=2，使数列是等差数列，

，
，
数列是等差数列的充要条件是（A、B是常数），
即，
又，
∴当且仅当，即λ=2时，数列为等差数列。