Question

17．设a∈R，函数f（x）=x|x-a|-a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则（　　）

• A． a≤1或a≥$\frac{9}{2}$
• B． a≤$\frac{4}{3}$或a≥$\frac{7}{2}$
• C． a≤1或a≥$\frac{7}{2}$
• D． a≤$\frac{4}{3}$或a≥$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 对x分类讨论去绝对值，当x≥a时，f（x）=x（x-a）-a=x²-ax-a  即x²-ax-a≥0恒成立，利用分离常数法把不等式转换为a≤x+1+$\frac{1}{x+1}$-2，只需求出右式的最小值即可．同理可得当x≤a时的范围．

解答 解：∵f（x）=x|x-a|-a
当x≥a时，f（x）=x（x-a）-a=x²-ax-a
∴x²-ax-a≥0恒成立，
∴a≤x+1+$\frac{1}{x+1}$-2，
令g（x）=x+1+$\frac{1}{x+1}$，知函数在[2，3]上递增，
∴g（x）≥g（2）=$\frac{10}{3}$，
∴a≤$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，显然x≥a，
故a≤$\frac{4}{3}$；
当x≤a时，f（x）=x（a-x）-a=-x²+ax-a
∴-x²+ax-a≥0 恒成立，
∴a≥x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，
令g（x）=x-1+$\frac{1}{x-1}$，知函数在[2，3]上递增，
∴g（x）≤g（3）=$\frac{5}{2}$，
∴a≥$\frac{9}{2}$，显然x≤a，
故a≥$\frac{9}{2}$；
综上，a的取值范围是a≤4/3或a≥9/2．
故选D．

点评 考查了绝对值函数的分类讨论和恒成立问题的转换，用到分离常数的方法，应熟练掌握．