Question

18．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，若Γ的离心率为$\sqrt{2}$，则m的取值的集合是{0}．

Answer 1

分析 利用Γ的离心率为$\sqrt{2}$，可得a=b，双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1化为x²-y²=a²，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：∵Γ的离心率为$\sqrt{2}$，
∴a=b，∴双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1化为x²-y²=a²，
设B（-x，y），C（x，y），A（a，0），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（-x-a，y）•（x-a，y）=a²-x²+y²=0，
∴m=0．
故答案为：{0}．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．