Question

【题目】设函数是偶函数.

（1）若不等式对任意实数成立，求实数的取值范围；

（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据偶函数得到，化简得到，根据函数的单调性得到答案.

（2）题目等价于在上有解，令，则，令，则在上单调递增，，，根据函数的单调性得到答案.

（1）是偶函数，

故，故.

不等式即为，即，

因为，当且仅当时，取等号，所以，

由函数在上是增函数知的最小值为3，

所以，故实数的取值范围是.

（2）在上有零点，

即为在上有解，

因为，所以，

所以条件等价于在上有解.

令，则，令，则在上单调递增，.

设，任取，则，

.

若，则，所以，即在上单调递增；

若，则，所以，即在上单调递减.

所以函数在时取得最小值，且最小值，所以，

从而，满足条件的实数的取值范围是.