Question

数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中（n∈N₊），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；
（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）由（II）中数列{a_n}的通项公式，及b_n=n（n+1）a_n，我们易得到数列{b_n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b_n}的前n项和S_n．
解答：解：（Ⅰ）证明：由已知可得，
即，
即
∴数列是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（10分）
相减得：=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
点评：本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各，其中（I）中利用递推公式，得到数列是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键．