Question

已知函数．

（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若，，，求的极小值；

（3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）

       由题意，知恒成立，即．          …… （2分）

       又，当且仅当时等号成立．

故，所以．                               ……（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则

（5分）

由，得或（舍去），

，

①若，则单调递减；在也单调递减；

②若，则单调递增．在也单调递增；

故的极小值为                             ……（8分）

       （Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中

① ② ③④

结合题意，有                             ……（9分）

①—②得

所以由④得

所以⑤                                  ……（11分）

设，⑤式变为

设，

所以函数在上单调递增，

因此，，即

也就是，，此式与⑤矛盾．

所以在处的切线不能平行于轴．              ……（14分）