Question

【题目】已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有.证明：；

（3）若为等比数列，，，求满足的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）1和2．

【解析】试题分析：

(1)由递推公式可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列．故的通项公式为．

(2)由题意，证得 即可证得结论； 据此可得．

且 ，所以．

故满足条件的的值为1和2．

试题解析：

解:(1) 由，得，

即，所以．

由，，可知．

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．

故的通项公式为．

（2）证法一：设数列的公差为，则，

由（1）知，．

因为，所以，即恒成立，

所以 即

又由，得，

所以．

所以，得证．

证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，

则，即，

因为，所以．

所以，

因为，所以存在，当时，恒成立．

这与“对任意的，都有”矛盾！

所以，得证．

（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列．

所以，．

则，

因为，所以，所以．

而，所以，即（*）．

当时，（*）式成立；

当时，设，

则，

所以．

故满足条件的的值为1和2．