Question

设函数y＝f(x)定义在R上，对任意实数m、n，恒有f(m＋n)＝f(m)f(n)且当x＞0，0＜f(x)＜1

(1)求证：f(0)＝1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上递减；

(3)设集合A＝{(x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋2)＝1，a∈R}，若A∩B＝，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在f(m＋n)＝f(m)f(n)中， 　　令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)f(0)． 　　∵0＜f(1)＜1，∴f(0)＝1． 　　设x＜0，则－x＞0．令m＝x，n＝－x，代入条件式有f(0)＝f(x)·f(－x)，而f(0)＝1， 　　∴f(x)＝＞1． 　　(2)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f(x2－x1)＜1． 　　令m＝x1，m＋n＝x2，则n＝x2－x1，代入条件式，得f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)， 　　即0＜＜1．∴f(x2)＜f(x1)． 　　∴f(x)在R上单调递减． 　　(1)解：由 　　又由(2)知f(x)为R上的减函数，∴点集A表示圆的内部．由f(ax－y＋2)＝1得ax－y＋2＝0点集B表示直线ax－y＋2＝0． 　　∵A∩B＝，∴直线ax－y＋2＝0与圆相离或相切． 　　于是