Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）解不等式f（x）＜3；
（3）设a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）写出函数f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 -x(x-2)，x＜2

，即可求得f（x）的单调区间；
（2）根据绝对值的几何意义，分类讨论，f（x）＜3等价于

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x-3＞0

，从而可得不等式f（x）＜3的解集；
（3）对参数a分类讨论，确定函数的单调性，从而可求f（x）在[0，a]上的最大值．

解答：解：（1）函数f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 -x(x-2)，x＜2

．
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调递减区间是[1，2]
（2）f（x）＜3等价于

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x-3＞0

∴2≤x＜3或x＜2
∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3}
（3）①当0＜a＜1时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
②当1≤a≤2时，f（x）在[0  1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f（x）在[0  a]上的最大值是f（1）=1
③当a＞2时，令f（a）-f（1）=a（a-2）-1=a2-2a-1＞0，解得a＞1+

2

（ⅰ）当2＜a≤1+

2

时，此时f（a）≤f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
（ⅱ）当a＞1+

2

时，此时f（a）＞f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
综上，当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上的最大值是a（2-a）．

点评：本题考查函数的性质，考查解不等式，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．