Question

已知动点P在以F₁（0，）、F₂（0，-）为焦点的椭圆上C，且cos∠F₁PF₂的最小值为0，直线l与y轴交于点Q（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可知c²的值，设出椭圆的长轴长，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出cos∠F₁PF₂的最小值，由最小值等于0求出a²的值，从而求出b²的值，则椭圆的方程可求；
（2）由题意知直线l的斜率存在，且不等于0，设出直线l的方程，和椭圆联立后保证判别式大于0，再利用列式找到直线的斜率k和m的关系，代入判别式后即可求解m的取值范围．
解答：解（1）由题意．设|PF₁|+|PF₂|=2a（），由余弦定理，
得
=
==．
又|PF₁|•|PF₂|，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁|•|PF₂|取最大值，
此时cos∠F₁PF₂取最小值，
令，
解得a²=1，∵，∴，
故所求P的轨迹方程为．即y²+2x²=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
则△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．
，，
因为，所以-x₁=3x₂，所以，
所以，即k²（4m²-1）+（2m²-2）=0
当时，上式不成立；
当时，；
把代入△=4（k²-2m²+2）＞0，
得：．
解得m的取值范围为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答（1）的关键是利用椭圆的定义和基本不等式得到使cos∠F₁PF₂取最小值0时的a²，（2）的求解利用了对点设而不求的方法，也是该类问题常用的方法，恰当利用直线与圆锥曲线有两个不同的交点是解答该题的关键所在．此题是有一定难度题目．