Question

已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】

试题分析：（1）依题意，设椭圆的方程为．

构成等差数列，

， ．

又，．

椭圆的方程为． 4分 

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．                5分

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，

化简得：．                           7分

设，，    9分

（法一）当时，设直线的倾斜角为，

则，

，       

，11分

，当时，，，．

当时，四边形是矩形，．   13分

所以四边形面积的最大值为．    14分

（法二），

．

．

四边形的面积，  11分                      

                                                 ．   13分

当且仅当时，，故．

所以四边形的面积的最大值为．     14分

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的定义；直线与椭圆的综合应用；基本不等式。

点评：（1）本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知

识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想．（2）做此题的关键是表示出四边形的面积。本题在计算过程中较为复杂繁琐，我们在计算的过程中一定要耐住性子，认真、细致，避免出现计算错误。