Question

已知函数f（x）=2x--aln（x+1），a∈R．
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数的导函数，然后因式分解，然后判定导数符号，从而可求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的导函数，然后讨论a，确定导函数的符号，根据极值的定义可求出函数在定义域内的极值．
解答：解：（1）若a=-4，则f（x）=2x-+4ln（x+1），

∵f（x）的定义域为（-1，+∞）
∴x∈（-1，3）时，f′（x）＞0，x∈（3，+∞）时，f′（x）＜0
故f（x）的单调增区间为（-1，3），单调减区间为（3，+∞）
（2）∵
当a≥时，恒成立，故函数在（-1，+∞）上单调递减，故f（x）无极值．
当时，对于方程x²-x+a-2=0，△=9-4a＞0，
设方程x²-x+a-2=0的两根x₁，x₂，
若时，-1＜x₁＜x₂，由函数的单调性可知f（x）有极小值点；有极大值点．
若a≤0时，x₁≤-1＜x₂，由函数的单调性可知f（x）有极大值点，无极小值点．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．